Основы теории передачи информации


Вес и расстояние Хемминга Способность кодов обнаруживать и исправлять ошибки - часть 3


также представляет собой кодовое слово. Следовательно, необнаруживаемые ошибки будут возникать тогда, когда сочетания ошибок будут образовывать кодовые слова.

Вероятность того, что вектор е совпадает с кодовым словом, имеющим вес i ,  равна

                                    Pi = Pошi × (1- Рош)n-i .                                                    (1.39)

Тогда полная вероятность возникновения необнаруживаемой ошибки

                      

.                                                (1.40)

Пример: рассматриваемый нами (7,4)-код содержит по семь кодовых слов с весами w

= 3 и w = 4 и одно кодовое слово с весом w = 7, тогда

                (1.41)

или,  при Рош = 10 -3, Р(Е) @ 7 ×

10 -9.

Другими словами, если  по  каналу  передается информация со скоростью V = 1кбит/с и в канале в среднем каждую секунду будет происходить искажение одного символа, то в среднем семь принятых слов на 109 переданных будут проходить через декодер без обнаружения ошибки (одна необнаруживаемая ошибка за  270 часов).

Таким образом, использование даже такого простого кода  позволяет на несколько порядков снизить вероятность необнаруживаемых ошибок.

Теперь предположим, что линейный блочный код используется для исправления ошибок. Чем определяются его возможности по исправлению?

Рассмотрим пример, приведенный на рис. 1.9. Пусть U и V представляют пару кодовых слов кода с кодовым расстоянием d , равным минимальному — d min

 для  данного кода.

Рис. 1.9


Предположим, передано кодовое слово U, в канале произошла одиночная ошибка  и принят вектор а  (не принадлежащий коду).

Если декодирование производится оптимальным способом, то есть по методу максимального правдоподобия, то в качестве оценки U*

нужно выбрать ближайшее к а кодовое слово.

Таковым в данном случае будет U, следовательно, ошибка будет устранена.

Представим теперь, что произошло две ошибки и принят вектор b.


Тогда при декодировании по максимуму правдоподобия в качестве оценки будет выбрано ближайшее к b кодовое слово, и им будет  V.


Начало  Назад  Вперед