Синдромное декодирование линейных блочных кодов

Покажем, как можно использовать синдром принятого вектора не только для обнаружения, но и для исправления ошибок.

Пусть U = ( U0 , U1 , …, Un-1 ),  e  = ( е0 , е1, …, еn-1

) и  r  =  ( r0 , r1, r2 , …, rn-1) являются передаваемым кодовым словом, вектором-ошибкой и принятым вектором  соответственно. Тогда

r   =  U  + e                                                      (1.25)

и синдром

   S = r×HT = (U + e )× HT = U× HT + e× HT = 0 + e× HT =  e× HT ,                     (1.26)

поскольку для любого кодового слова  U × HT  = 0.

Таким образом, синдром принятой последовательности  r  зависит только от ошибки, имеющей место в этой последовательности, и совершенно не зависит от переданного кодового слова.  Задача декодера,  используя эту зависимость,  определить элементы (координаты) вектора ошибок.  Найдя вектор ошибки можно восстановить кодовое слово как

                                            U*  =  r  + e .                                                        (1.27)

На примере одиночных ошибок при кодировании с использованием линейного блочного (7,4)-кода покажем, как вектор ошибки связан с синдромом, и как, имея синдром, локализовать и устранить ошибки, возникшие при передаче.

Найдем значения синдрома для всех возможных одиночных ошибок в последовательности из семи символов:

e_ = ( 0000000

),

		1011100		T
e_ × HT  =  ( 0000000 ) ×		1110010		= (000);
		0111001

e0 = ( 1000000 ),

		1011100		T
e0× HT  =  ( 1000000 ) ×		1110010		= (110);
		0111001

e1 = ( 0100000 ),

		1011100		T
e1× HT  =  ( 0100000 ) ×		1110010		= (011);
		0111001

e2 = ( 0010000 ),

		1011100		T
e2× HT  =  ( 0010000 ) ×		1110010		= (111);
		0111001

 

e3 = ( 0001000

),

	1011100	T
e3× HT  =  ( 0001000 ) ×	1110010	= (101);
	0111001

e4 = ( 0000100

),

	1011100	T
e4× HT  =  ( 0000100 ) ×	1110010	= (100);
	0111001

e5 = ( 0000010 ),

	1011100	T
e5× HT  =  ( 0000010 ) ×	1110010	= (010);
	0111001

e6 = ( 0000001

),

	1011100	T
e6× HT  =  ( 0000001 ) ×	1110010	= (001).
	0111001

 

Все возможные для (7,4)-кода одиночные ошибки и соответствующие им векторы  синдрома приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Вектор ошибки	Синдром ошибки	Десятичный код синдрома
1000000	110	6
0100000	011	3
0010000	111	7
0001000	101	5
0000100	100	4
0000010	010	2
0000001	001	1

Из этой таблицы видно, что существует однозначное соответствие между сочетанием ошибок (при одиночной ошибке) и его синдромом, то есть, зная синдром, можно совершенно однозначно определить позицию кода, в которой произошла ошибка.

Например,  если   синдром,   вычисленный   по принятому  вектору,   равен ( 111 ), это значит,  что  произошла одиночная ошибка  в  третьем символе,  если S

= ( 001 ) – то в последнем, и т.д. 

Если место ошибки определено, то устранить ее уже не представляет никакого труда.

Полная декодирующая схема для (7,4)-кода Хемминга, использующая синдром вектора r  не только для обнаружения, но и для исправления ошибок,  приведена на рис. 1.6.



Рис. 1.6

А теперь посмотрим, что произойдет, если в принятой последовательности будет не одна, а, например, две ошибки. Пусть ошибки возникли во второй и шестой позициях e = ( 0100010 ). Соответствующий синдром определится как

 S = ( 0100010 )  = (001).

Однако синдром  S = ( 001 ) соответствует также и одиночной ошибке в седьмой позиции ( e6 ).Следовательно, наш декодер не только не исправит ошибок в позициях, в которых они произошли, но и внесет ошибку в ту позицию, где ее не было. Таким образом, видно, что (7,4)-код не обеспечивает исправления двойных ошибок, а также ошибок большей кратности.

Это, однако, обусловлено не тем, каким образом производится декодирование, а свойствами самого кода. Несколько позднее будет показано, от чего зависит исправляющая способность кода, то есть сколько ошибок он может исправить.


Содержание раздела

---

---