Мажоритарное декодирование линейных блочных кодов
Идею мажоритарного декодирования линейных блочных кодов можно продемонстрировать на очень простом примере.
Пусть m – кодируемая информационная последовательность, состоящая всего из одного символа m0 = 0 или 1, а соответствующее ей кодовое слово помехоустойчивого (избыточного) кода имеет вид U = ( m0 , m0 , m0 ), то есть ( 000
), если m0 = 0, или ( 111 ), если m0
= 1 (код с трехкратным повторением).
Допустим, передано кодовое слово U = (111) и в первом символе произошла одна ошибка, то есть принята последовательность r = ( 011
).
Вопрос: какая последовательность передавалась, U = ( 000 ) или
U = (111)?
Здравый смысл подсказывает, что, скорее всего, передавалось кодовое слово U
= ( 111 ), так как в противном случае ошибка должна была бы исказить два символа, чтобы кодовое слово U = ( 000
) превратилось в последовательность вида r = ( 011
). Может быть, и не отдавая себе отчета в правиле принятия решения (о том, что передавалось), мы приняли решение по большинству – мажоритарно.
В общем случае, для линейных блочных кодов с более сложной структурой, решение будет не таким простым, но идея мажоритарного декодирования – та же: решение принимается по большинству. Как и в жизни, полагается, что большинство дает более правильный ответ.
Рассмотрим более сложный пример – мажоритарное декодирование для (7,4)-кода Хемминга.
Пусть передано кодовое слово (7,4)-кода – U = (U0 ,U1 ,U2 ,U3 ,U4 ,U5 ,U6 ), символы которого сформированы в соответствии с системой проверочных уравнений (правилом кодирования) вида:
U0 = m0 ,
U1 = m1 ,
U2 = m2 ,
U3 = m3 , (1.28)
U4 = m0 + m2 + m3 ,
U5 = m0 + m1 + m2 ,
U6 = m1 + m2 + m3 .
На входе декодера наблюдается принятая последовательность r = (r0 , r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 ), и необходимо ее декодировать, то есть определить вид передаваемой информационной последовательности m .
Поскольку невозможно быть абсолютно уверенными в правильности декодирования, мы можем говорить лишь об оценке информационной последовательности m*.
Для начала предположим, что ошибок в принятой последовательности r нет, то есть r = U .
Тогда по принятой последовательности r можно легко найти оценку переданной информационной последовательности m*, причем не единственным способом.
Во-первых, можно сразу записать
m0 *1 = r0 ,
m1 *1 = r1 , (1.29)
m2*1 = r2 ,
m3*1 = r3 ,
то есть в качестве ответа или результата декодирования, взять первые четыре символа принятой последовательности.
